lunes, 31 de marzo de 2014

EJERCICIOS SOBRE MATRICES EN LINEA

A continuación te presentamos seis páginas que permiten realizar ejercicios sobre matrices en linea, con la finalidad de que puedas practicar ejercicios con matrices. Cabe destacar la cuarta página (http://wims.linex.org) permite elegir el tipo de ejercicio y el tiempo límite para desarrollarlo. Sin embargo, puedes seleccionar la que según tu criterio sea más conveniente:

http://www.vitutor.com(...)
http://www.fisicanet.com.ar(...)
http://www.vadenumeros.es(...)

http://wims.linex.org(...)
http://www.personal.telefonica.terra.es(...)
http://www.unizar.es(...)

ACTIVIDAD PRÁCTICA: Cúal es mi lugar?

Actividad¨Práctica: Cuál es mi lugar? from emileidys

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES POR UN ESCALAR

Multiplicación de un escalar por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real k R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

k · A=(k a_ij)

Por lo tanto, se define de la siguiente manera

Veamos otro ejemplo si A es una matriz de orden 3x3, entonces:

Puedes acceder al siguiente link para realizar ejercicios propuestos sobre multiplicación de matrices por un escalar, por lo cual, te va a ser de gran ayuda:

http://www.virtual.fing.luz.edu.ve/modulos/beta/html/multiplicacion_de_un_escalar_por_una_matriz.html

Recuerda que cualquier duda o sugerencia que tengas puedes hacer un comentario al respecto a través de esta vía.

ADICIÓN DE MATRICES

LO PRIMERO QUE DEBEMOS TOMAR EN CUENTA:

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí. Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas.
Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

Ahora bien, procedamos a comprender la adición de matrices

Sean $A,B\in\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ . Se define la operación de adición de matrices como una operación binaria $+:\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\times\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathcal{M}_{n\times m}(\mathbb{K})$ tal que $(A,B)\mapsto C=A+B$ y donde $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\,\!$ en el que la operación de suma en la última expresión es la operación binaria correspondiente pero en el campo $\mathbb{K}$ . Por ejemplo, la entrada $c_{12}\,\!$ es igual a la suma de los elementos $a_{12}\,\!$ y $b_{12}\,\!$ lo cual es $a_{12}+b_{12}\,\!$ .

Veamos un ejemplo más explícito. Sea $A,B\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

A la luz de éstos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamaño. La suma de matrices en el caso de que las entradas estén en un campo serán la asociatividad, la conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. Esto es así ya que éstas son propiedades de los campos en los que están las entradas de la matriz. A continuación se presentan las propiedades.

Propiedades de la Adición de matrices

Para poder sumar dos o más matrices deben tener el mismo tamaño, la misma cantidad de columnas y de filas. Propiedades:

Cerrada: La suma de dos matrices resulta otra matriz de igual tamaño.
Asociativa: (A + B ) + C = A + (B + C )
Neutro: Existe una matriz O, con todos sus elementos de valor cero tal que A + O = O + A = A
Simétrico: Cada matriz A, posee su matriz simétrica A' tal que A + A' = A' + A = O

Los elementos de A' son de valor opuesto que sus correspondientes de la matriz A

Conmutativa: A + B = B + A

Interesante verdad? Ahora, pongamos a prueba tus conocimientos adquiridos de una forma rápida y donde el razonamiento y la memoria te ayudarán a tener un aprendizaje significativo. Realiza la siguiente sopa de letras con ilustraciones de las propiedades de las matrices. Esta actividad te ayudará a reforzar el contenido. Éxitos!

TIPOS DE MATRICES

Matrices from galactico69

Aportes teóricos de los matematicos chinos, Sylvester y Cayley a la historia de las matrices

"Los cuadrados mágicos": origen de las matrices

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadrados latinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C. como el que se puede observar en la siguiente ilustración

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.³ En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término « matriz » en 1848/1850.

En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas.

Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de las matrices. En 1925,Werner Heisenberg redescubre el cálculo matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecánica cuántica.

Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

En ese sentido, podemos resumir que los acontecimientos históricos mas importantes que forman parte de la historia de las matrices se encuentran en el siguiente cuadro:

Te invitamos a revisar el siguiente link donde se ofrece con más detalles los antecedentes históricos y evolución de las matrices, profundizando ademas en los aportes de los teóricos matemáticos a través del tiempo:

http://palillo.usach.cl/Pamela/historia.htm

DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz  (a_ij) tiene dos subíndices. El primero  i  indica la fila a la que pertenece y el segundo  j la columna. Esta es una matriz de  m filas y  n columnas, es decir, de dimensión  m x n.

Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente:  A = (a_ij)_{m x n}.

Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.

2. IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices  A y  B sean iguales, se tiene que cumplir que  a = 7 y  b = 5

Es importante que para complementar este contenido, revises una guía que se ha diseñado para establecer los conceptos básicos que necesitas tener claro sobre matrices, por eso te invitamos a revisar el contenido del siguiente link: http://es.scribd.com/doc/215573436/Conceptos-Basicos-de-Matrices.En este documento encontraras información detallada que complementara lo aprendido en esta lección

De igual forma, te invitamos para que realices el siguiente juego didáctico y construyas tu propia matriz

INTRODUCCIÓN A LA TEMÁTICA

LAS MATRICES

La Matemática resulta fundamental para cifrar mensajes, es decir, para codificar información. Son muchas las actividades humanas que requieren proteger ciertos datos, tal es el caso de las transacciones electrónicas, las claves en las tarjetas emitidas por la banca nacional, en el acceso a los correos en línea, en temas de la política exterior, entre otros. En realidad son incontables las formas de codificar mensajes, una de éstas tiene que ver con las matrices, concepto que será central en esta lección. Veremos entonces cómo, con apoyo en las matrices, podemos cifrar un mensaje de manera que solo pueda ser entendido por el (o la) destinatario(a), aún cuando sea interceptado el cifrado que se envíe.

Este tema es de gran importancia para tu aprendizaje, ya que, además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras ciencias. También se destaca, que la teoría de matrices es ampliamente utilizada en la informática. Las bibliotecas gráficas como por ejemplo OpenGL se valen de transformaciones espaciales y de las matrices para representar gráficos 3D a 2D que luego se traducen a imagen en los monitores.

Asimismo, la utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, en el estudio de las cónicas.

Pero, ¿qué es una matriz?

Una vez que te hemos hablado de la importancia de las matrices en la resolución de problemas matemáticos y su utilidad para diversas aplicaciones, es importante darle continuidad a la temática, por lo tanto, te invitamos a revisar el primer contenido de la unidad temática donde se profundiza en el concepto de matriz y los tipos de matrices.

Bienvenidos!!!

Te damos una cordial bienvenida a este blog creado con la finalidad de consolidar los conocimientos matemáticos sobre Matrices, en el cual podrás conseguir información y recursos como vídeos, presentaciones e ilustraciones que te permitirán acercarte a este contenido de forma interactiva y aprovechando las ventajas tecnológicas que ofrece este espacio..Te recomendamos que revises constantemente las entradas del blog, para estar al tanto de las actividades a realizar, el contenido a abordar y las evaluaciones que se van a aplicar durante el periodo. Es importante que a través de comentarios plantees tus dudas o sugerencias con respecto a blog o los contenidos del mismo..De esta forma damos inicio a la exploración por el interesante campo de las Matrices.

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